已知f(x)＝x(x－a)(x－b)，點(diǎn)A(s，f(s))，B(t，f(t))．
(1)若a＝b＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)
滿足：當(dāng)|x|≤1時(shí)，有
恒成立，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式；
(3)若0＜a＜b，函數(shù)f(x)在x＝s和x＝t處取得極值，且a＋b＝
，證明：
與
不可能垂直．
解：(Ⅰ)
，
令
得
，解得
故
的增區(qū)間
和
(Ⅱ)
(x)＝
當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，恒有|(x)|≤
． 4分
故有
≤(1)≤，
≤(－1)≤，
及≤(0)≤， 5分
即
6分
①＋②，得
≤
≤， 8分
又由③，得
＝，將上式代回①和②，得
故
． 9分
(Ⅲ)假設(shè)
⊥
，
即
＝
10分
故(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1
[st－(s＋t)a＋a2][st－(s＋t)b＋b2]＝－1， 11分
由s，t為(x)＝0的兩根可得，s＋t＝
(a＋b)，st＝
，(0＜a＜b)
從而有ab(a－b)2＝9． 12分
這樣
即
≥2
，這與＜2
矛盾． 13分
故與不可能垂直． 14分
津橋教育計(jì)算小狀元系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天津一中2008－2009年高三年級三月考數(shù)學(xué)試卷(理) 題型：044
已知f(x)＝
(x∈R)，在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；
(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝
的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2，試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知f(x)＝|x|(x－4)．
(1)把f(x)寫成分段函數(shù)的形式；
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象；
(3)利用圖象回答：當(dāng)k為何值時(shí)，方程|x|(x－4)＝k有一解？有兩解？有三解？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知f(x)＝x－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河北省高三8月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點(diǎn)A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
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