Question

已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，f（x）=log₂x，則滿足不等式f（x）＞0的x的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：首先令x＜0，則-x＞0，結合已知條件和奇函數的性質，求出此時f（x）的解析式，又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0兩種情況分別求出f（x）＞0的解集，最后求其并集．

解答：解：∵函數f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即f（x）=-f（-x），∵x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=log₂（-x）=-f（x），即f（x）=-log₂（-x），
當x=0時，f（0）=0；
∴f（x）=

log2x，x＞0 0，x=0 -log2(-x)，x＜0

當x＞0時，由log₂x＞0解得x＞1，當x＜0時，由-log₂（-x）＞0解得x＞-1，
∴-1＜x＜0，綜上，得x＞1或-1＜x＜0，故x的取值范圍為（-1，0）U（1，+∞）．
故答案為：（-1，0）U（1，+∞）．

點評：本題通過不等式的求解，考查了分段函數解析式的求法和奇函數的性質，同時考查了轉化思想和分類討論思想以及學生的基本運算能力，是高考熱點內容．