Question

已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（x）在 （0，+∞）上為增函數(shù)，f（2）=0，則（x²-x-2）f（x）＜0的解集為

（-1，0）∪（-∞，-2）

．

Answer 1

分析：由題意可得f（-2）=-f（2）=0，且f（x）在 （-∞，0）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，不等式即 （x-2）（x+1）f（x）＜0，分類討論，求出不等式的解集．

解答：解：由題意可得f（-2）=-f（2）=0，且f（x）在 （-∞，0）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示．
不等式（x²-x-2）f（x）＜0 即 （x-2）（x+1）f（x）＜0．
當x＜-2時，（x-2）（x+1）＞0，f（x）＜0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0成立．
當-2＜x＜-1時，（x-2）（x+1）＞0，f（x）＞0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0不成立．
當-1＜x＜0時，（x-2）（x+1）＜0，f（x）＞0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0成立．
當 0＜x＜2時，（x-2）（x+1）＜0，f（x）＜0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0不成立．
當 2＜x時，（x-2）（x+1）＞0，f（x）＞0，不等式（x-2）（x+1）f（x）＜0不成立．
綜上可得，不等式的解集為 （-1，0）∪（-∞，-2），
故答案為 （-1，0）∪（-∞，-2）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，其它不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．