Question

設橢圓C₁：的左、右焦點分別是F₁、F₂，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖，若拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點為B，且經過F₁，F₂點．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設M（0，），N為拋物線C₂上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2，
令y=0，得即x=±1，
則F₁(-1，0)，F₂(1，0)，故c=1，
所以，，
于是橢圓C₁的方程為：．
（Ⅱ）設N（），由知，
直線PQ的方程為：，即，
代入橢圓方程整理，得，
 =，
∴，，
故
，
設點M到直線PQ的距離為d，則，
所以，△MPQ的面積
S
，
當t=±3時取到“=”，經檢驗此時△＞0，滿足題意；
綜上可知，△MPQ的面積的最大值為．