Question

（本題滿分12分）設橢圓C₁：的左、右焦點分別是F₁、F₂，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖．若拋物線C₂：與軸的交點為B，且經過F₁，F₂點．

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）設M（0，），N為拋物線C₂上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點，求面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．

令y=0得即，則F₁(-1，0)，F₂（1，0），故c=1．

所以．于是橢圓C₁的方程為．…………4分

（Ⅱ）設N（），由于知直線PQ的方程為：

． 即．……………………………5分

代入橢圓方程整理得：,

=,

 , ,

故

．………………………………7分

設點M到直線PQ的距離為d，則．…………………9分

所以，的面積S

 ………………11分

當時取到“=”，經檢驗此時，滿足題意．

綜上可知，的面積的最大值為．…………………………12分

考點：橢圓標準方程及直線和橢圓的位置關系求最值

點評：本題計算量較大，要求學生有較強的數據處理能力