Question

【題目】己知n為正整數，數列{an}滿足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，設數列{bn}滿足bn=
（1）求證：數列{ }為等比數列；
（2）若數列{bn}是等差數列，求實數t的值：
（3）若數列{bn}是等差數列，前n項和為Sn ， 對任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求滿足條件的所有整數a1的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：數列{an}滿足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，

∴ = an+1，即 =2 ，

∴數列{ }是以a1為首項，以2為公比的等比數列

（2）解：由（1）可得： = ，∴ =n 4n﹣1．

∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，

∵數列{bn}是等差數列，∴2× = + ，

∴ = + ，

化為：16t=t2+48，解得t=12或4

（3）解：數列{bn}是等差數列，由（2）可得：t=12或4．

①t=12時，bn= = ，Sn= ，

∵對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

∴8 × ﹣a14n2=16× ，

∴ = ，n=1時，化為：﹣ = ＞0，無解，舍去．

②t=4時，bn= = ，Sn= ，

對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

∴8 × ﹣a14n2=16× ，

∴n =4m，

∴a1=2 ．∵a1為正整數，∴ = k，k∈N*．

∴滿足條件的所有整數a1的值為{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}．

【解析】（1）數列{an}滿足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化為： =2× ，即可證明．（2）由（1）可得： = ，可得 =n 4n﹣1 ． 數列{bn}滿足bn= ，可得b1 ， b2 ， b3 ， 利用數列{bn}是等差數列即可得出t．（3）根據（2）的結果分情況討論t的值，化簡8a12Sn﹣a14n2=16bm ， 即可得出a1 ．
【考點精析】利用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．