Question

（本小題16分）

已知函數且

   （I）試用含的代數式表示；

   （Ⅱ）求的單調區間；

 （Ⅲ）令，設函數在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點．

Answer 1

（本小題16分）

已知函數且

   （I）試用含的代數式表示；

   （Ⅱ）求的單調區間；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                 

   （Ⅲ）令，設函數在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點；

解法一:

依題意,得 ,--------------------------------------------------2分

故.------------------------------------------------------------------------------------4分

 由得,

故,

令,則或,--------------------------------------------------6分

當時, ,

當變化時, 與 的變化如下表:

	(,)	(,)	(, )
	+	-	+
	單調遞增	單調遞減	單調遞增

由此得,函數的單調增區間為(,)和(, ),單調減區間為(,).

當時, .此時恒成立,且僅在處,故函數的單調增區間為.

當時, ,同理可得函數的單調增區間為和,單調減區間為.--------------------------------------------------9分

綜上:當時,函數的單調增區間為(,)和(, ),單調減區間為(,);當時,函數的單調增區間為; 當時,函數的單調增區間為和,單調減區間為.-------------------------------10分

(Ⅲ)當時,得

由,得,.

由(Ⅱ)得單調區間為和,單調減區間為,所以函數在,處取得極值;

故，.------------------------------------------------------------12分

所以直線的方程為，

由，得-------------------------------14分

令.

易得，.而的圖像在內是一條連續不斷的曲線，故在內存在零點，這表明線段與曲線存在異于、的公共點. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------16分

解法二:

(I)同解法一

(II)同解法一

(Ⅲ) 當時,得,由,得,.

由(Ⅱ)得單調區間為和,單調減區間為,所以函數在,處取得極值;

故，.------------------------------------------------------------12分

所以直線的方程為，

由，得-------------------------------14分

解得:, , .

∴, , .

所以線段與曲線存在異于、的公共點.--------------16分