Question

【題目】已知在上任意一點處的切線為，若過右焦點的直線交橢圓于兩點，已知在點處切線相交于.

（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）①若過點且與直線垂直的直線（斜率存在且不為零）交橢圓于兩點，證明為定值.

②四邊形的面積是否有最小值，若有請求出最小值；若沒有請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析；②．

【解析】

（Ⅰ）當直線的斜率不存在時，可直接求出點，當直線的斜率存在時，設直線：，，聯立，可得韋達定理，在根據題目直接求出切線方程，利用根于系數的關系進行化簡消元，即可得點的軌跡方程；

（Ⅱ）①利用弦長公式可得，同理可得，進而化簡計算即可；②變形可得，利用基本不等式可得最值．

（Ⅰ）由已知，

當直線的斜率不存在，即直線：時，，

過點的切線為：，即⑴，

過點的切線為：，即⑵，

聯立⑴⑵解得；

當直線的斜率存在時，設直線：，，

聯立，消去得，

則，

過點的切線為：，⑶，

過點的切線為：，⑷，

⑶＋⑷得，

，整理得⑸，

⑶－⑷得，

整理得，代入⑸的

整理得，因為，

則，即；

綜合得點的軌跡方程為：；

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得，

則，

同理，

，

即為定值；

②

，

因為，則，則，

則

當且僅當，即時，等號成立，

所以四邊形的面積存在最小值，且為．