Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞減．若實(shí)數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1），則a的取值范圍是（　　）

• A．（-∞，

  1

  2

  ]∪[2，+∞）
• B．(0，

  1

  2

  ]∪[2，+∞）
• C．[

  1

  2

  ，2]
• D．（0，2]

Answer 1

分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義將所給不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式f（|log₂a|）≤f（1），再利用偶函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于a的不等式，求解即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（log

1

2

a）=f（-log₂a）=f（log₂a），
∴f（log₂a）+f（log

1

2

a）=2f（log₂a），
∴不等式f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1），等價(jià)于f（log₂a）≤f（1），
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（|x|），
∴f（|log₂a|）≤f（1），
又∵在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴|log₂a|≥1，即，log₂a≤-1或log₂a≥1，
∴0＜a≤

1

2

或a≥2，
a的取值范圍是(0，

1

2

]∪[2，+∞)．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，易錯(cuò)處是忽略定義域內(nèi)的單調(diào)性不同，即對稱區(qū)間單調(diào)性相反，注意自變量的取值范圍，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．屬于中檔題．