Question

崇義縣環保局決定對陽明湖的四個區域A、B、C、D的水質進行檢測，水質分為I、II、III類，每個區域的檢測方式如下：分別在同一天的上、下午各進行一次檢測，若兩次檢測中有III類或兩次都是II類，則該區域的水質不合格，設各區域的水質相互獨立，且每次檢測的結果也相互獨立，根據多次抽檢結果，一個區域一次檢測水質為I、II、III三類的頻率依次為

2

3

，

1

6

，

1

6

（I）在陽明湖的四個區域中任取一個區域，估計該區域水質合格的概率；
（II）如果對陽明湖的四個區域進行檢測，記在上午檢測水質為I類的區域數為ξ，并以水質為I 類的頻率作為水質為I類的概率，求ξ的分布列及期望值．

Answer 1

分析：（I）水質合格包括兩種情況，即兩次檢測中水質均為I類，區域兩次檢測中，水質一次為I類，另一次為II類，這兩種情況是互斥的，得到概率．
（II）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，4，結合變量對應的事件，寫出變量的概率值，列出分布列求出期望值．

解答：解：（I）該區域兩次檢測中水質均為I類的概率為

2

3

×

2

3

=

4

9

該區域兩次檢測中，水質一次為I類，另一次為II類的概率為2×

2

3

×

1

6

=

2

9

該區域的水質合格的概率為P=

4

9

+

2

9

=

2

3

（II）由題意可知，ξ的取值為0，1，2，3，4
P（ξ=i）=

C

i n

(

2

3

)i(

1

3

)4-i（i=0，1，2，3，4
隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

∴Eξ=1×

8

81

+2×

24

81

+3×

32

81

+4×

16

81

=

206

81

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是看出題目中的變量符合特殊結構，這樣使得運算量減小．