Question

【題目】如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ADC的外接圓交BC于點E，AB=2AC

（1）求證：BE=2AD；
（2）當AC=3，EC=6時，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接DE，

∵ACED是圓內接四邊形，

∴∠BDE=∠BCA，

又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有 ，

又∵AB=2AC，∴BE=2DE，

∵CD是∠ACB的平分線，∴AD=DE，

∴BE=2AD；

（2）

解：由條件知AB=2AC=6，設AD=t，

則BE=2t，BC=2t+6，

根據割線定理得BDBA=BEBC，

即（6﹣t）×6=2t（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，

解得 或﹣6（舍去），則 ．

【解析】（1）連接DE，證明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，結合角平分線性質，即可證明BE=2AD；（2）根據割線定理得BDBA=BEBC，從而可求AD的長．