Question

給出定義在（0，+∞）上的三個函數：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h(x)=x-a

x

，已知g（x）在x=1處取極值．
（1）確定函數h（x）的單調性；
（2）求證：當1＜x＜e²時，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立．

Answer 1

分析：（1）由題設，知g（x）=x²-alnx，則g′(x)=2x-

a

x

．由g'（1）=0，知a=2于是h(x)=x-2

x

，由此能確定h（x）的單調性．
（2）當1＜x＜e²時，0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0，欲證x＜

2+f(x)

2-f(x)

，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證f(x)＞

2(x-1)

x+1

．由此能夠證明當1＜x＜e²時，x＜

2+f(x)

2-f(x)

．

解答：解：（1）由題設，g（x）=x²-alnx，則g′(x)=2x-

a

x

．…（2分）
由已知，g'（1）=0，即2-a=0⇒a=2．…（3分）
于是h(x)=x-2

x

，則h′(x)=1-

1

x

．由h′(x)=1-

1

x

＞0⇒x＞1，…（5分）
所以h（x）在（1，+∞）上是增函數，在（0，1）上是減函數．…（6分）
（2）當1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0…（8分）
欲證x＜

2+f(x)

2-f(x)

，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證f(x)＞

2(x-1)

x+1

．
設φ(x)=f(x)-

2(x-1)

x+1

=lnx-

2(x-1)

x+1

，
則φ′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．…（10分）
當1＜x＜e²時，φ'（x）＞0，所以φ（x）在區間（1，e²）上為增函數．
從而當1＜x＜e²時，φ（x）＞φ（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

x+1

，故x＜

2+f(x)

2-f(x)

．…（12分）

點評：本題考查函數單調性的確定和不等式的證明，具體涉及到導數的性質和應用、函數的單調性、不等式的等價轉化等基本知識．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．