Question

給出定義在（0，+∞）上的三個函數：f（x）=lnx，g（x）=x²-mf（x），h(x)=x-m

x

，已知g（x）在x=1處取極值．
（1）求m的值及函數h（x）的單調區間；
（2）求證：當x∈（1，e²）時，恒有

2+f(x)

2-f(x)

＞x成立．

Answer 1

分析：（1）由題設g（x）=x²-mlnx，則g′(x)=2x-

m

x

，由已知g′（1）=0，得m=2，于是h(x)=x-2

x

，由此能求出m的值及函數h（x）的單調區間．
（2）當x∈（1，e²）時，0＜lnx＜2，欲證

2+f(x)

2-f(x)

＞0，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證f（x）＞

2(x-1)

x+1

．由此能夠證明當x∈（1，g²）時，恒有

2+f(x)

2-f(x)

＞x成立．

解答：解：（1）由題設g（x）=x²-mlnx，則g′(x)=2x-

m

x

，
由已知g′（1）=0，即2-m=0，則m=2，
于是h(x)=x-2

x

，則h′(x)=1-

1

x

，
當h′(x)=1-

1

x

＞0時，x＞1，
當h′(x)=1-

1

x

＜0時，0＜x＜1，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函數，在（0，1）上是減函數．
（2）當x∈（1，e²）時，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，
欲證

2+f(x)

2-f(x)

＞0，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），
即證f（x）＞

2(x-1)

x+1

．
設F（x）=f（x）-

2(x-1)

x+1

=lnx-

2(x-1)

x+1

，
則F′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
當1＜x＜e²時，F′（x）＞0，
∴F（x）在區間（1，e²）上為增函數，
從而當x∈（1，e²）時，F（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞

2(x-1)

x+1

，
故

2+f(x)

2-f(x)

＞x．

點評：本題考查求m的值及求函數h（x）的單調區間和不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．