Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，側面底面，，為線段上一點，且滿足.

（1）若為的中點，求證：；

（2）當最小時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

(1)根據中點可得 ，再根據面面垂直的性質定理得面，即可證明結論(2) 以為坐標原點，分別以射線和垂直于面向上的方向為軸，建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量，利用公式求其夾角余弦即可.

（1）在，因為,，

為的中點，所以，

因為面面，面面，所以面，

又面，

（2）以為坐標原點，分別以射線和垂直于面向上的方向為軸，建立空間直角坐標系，

設，則有，因為側面底面，，

所以，

所以，

當時，最小，

此時，，

設為平面的一個法向量，則有，

所以，令，則，

而平面的一個法向量為，

所以，

故二面角的余弦值為.