Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的短軸長為2，過上頂點(diǎn)E和右焦點(diǎn)F的直線與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（1，0），且與橢圓C交于點(diǎn)A，B，則在x軸上是否存在一點(diǎn)T（t，0）（t≠0），使得不論直線l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出 t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知中橢圓C的短軸長為2，可得：b=1，
則過上頂點(diǎn)E（0，1）和右焦點(diǎn)F（0，c）的直線方程為： ，
即x+cy﹣c=0，
由直線與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
故圓心M（2，1）到直線的距離d等于半徑1，
即 ，
解得：c2=3，
則a2=4，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線 方程為：x=my+1，代入 得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，
則y1+y2= ，y1y2= ，
設(shè)直線TA，TB的斜率分別為k1 ， k2 ，
若∠OTA=∠OTB，
則k1+k2= + = =
= =0，
即2y1y2m+（y1+y2）（1﹣t）= + =0，
解得：t=4，
當(dāng)直線AB的斜率為0時，t=4也滿足條件，
綜上，在x軸上存在一點(diǎn)T（4，0），使得不論直線l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB．
【解析】（I）由已知可得：b=1，結(jié)合直線與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．進(jìn)而可得c2=3，a2=4，即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)T（4，0），使得不論直線l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合∠OTA=∠OTB 時，直線TA，TB的斜率k1 ， k2和為0，可證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．