Question

（1）已知雙曲線C₁與橢圓C₂：

x2

36

+

y2

49

=1有公共的焦點，并且雙曲線的離心率e₁與橢圓的離心率e₂之比為

7

3

，求雙曲線C₁的方程．
（2）以拋物線y²=8x上的點M與定點A（6，0）為端點的線段MA的中點為P，求P點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓C₂：

x2

36

+

y2

49

=1的焦點坐標為（0，±

13

），橢圓C₂離心率，可求C₁的焦點坐標與離心率e₁與橢圓的離心率，進而利用待定系數法可求雙曲線的方程；
（2）設點M（x₀，y₀），P（x，y），根據線段MA的中點為P，確定動點坐標之間的關系，從而可得點P的軌跡方程．

解答：解：（1）橢圓C₂：

x2

36

+

y2

49

=1的焦點坐標為（0，±

13

），∴C₁的焦點坐標為（0，±

13

）
橢圓C₂離心率e₂=

13

7

，雙曲線的離心率e₁與橢圓的離心率e₂之比為

7

3

，∴e1=

13

3

設雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1(a，b＞0)，則

a2+b2=13 a2+b2 a2 = 13 9

，解得a²=9，b²=4
∴雙曲線的方程為

y2

9

-

x2

4

=1
（2）設點M（x₀，y₀），P（x，y），則

x= x0+6 2 y= y0 2

，∴

x0=2x-6 y0=2y

．
代入

y

2 0

=8x0得：y²=4x-12，即為點P的軌跡方程．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查代入法求軌跡方程，考查橢圓與雙曲線的幾何性質，掌握求軌跡方程的方法是關鍵．