Question

【題目】公元2222年，有一種高危傳染病在全球范圍內(nèi)蔓延，被感染者的潛伏期可以長達(dá)10年，期間會有約0.05%的概率傳染給他人，一旦發(fā)病三天內(nèi)即死亡，某城市總?cè)丝诩s200萬人，專家分析其中約有1000名傳染者，為了防止疾病繼續(xù)擴(kuò)散，疾病預(yù)防控制中心現(xiàn)決定對全市人口進(jìn)行血液檢測以篩選出被感染者，由于檢測試劑十分昂貴且數(shù)量有限，需要將血樣混合后一起檢測以節(jié)約試劑，已知感染者的檢測結(jié)果為陽性，末被感染者為陰性，另外檢測結(jié)果為陽性的血樣與檢測結(jié)果為陰性的血樣混合后檢測結(jié)果為陽性，同一檢測結(jié)果的血樣混合后結(jié)果不發(fā)生改變.

（1）若對全市人口進(jìn)行平均分組，同一分組的血樣將被混合到一起檢測，若發(fā)現(xiàn)結(jié)果為陽性， 則再在該分組內(nèi)逐個檢測排査，設(shè)每個組個人，那么最壞情況下，需要進(jìn)行多少次檢測可以找到所有的被感染者？在當(dāng)前方案下，若要使檢測的次數(shù)盡可能少，每個分組的最優(yōu)人數(shù)？

（2）在（1）的檢測方案中，對于檢測結(jié)果為陽性的組來取逐一檢測排査的方法并不是很好， 或可將這些組的血樣再進(jìn)行一次分組混合血樣檢測，然后再進(jìn)行逐一排査，仍然考慮最壞的情況，請問兩次要如何分組，使檢測總次數(shù)盡可能少？

（3）在（2）的檢測方案中，進(jìn)行了兩次分組混合血樣檢測，仍然考慮最壞情況，若再進(jìn)行若干次分組混合血樣檢測，是否會使檢測次數(shù)更少？請給出最優(yōu)的檢測方案.

Answer 1

【答案】（1） 次，45人；（2）第一次每組159人，第二次每組13人；（3）見解析

【解析】

(1)根據(jù)最壞的情況是1000名被感染者分布在其中1000組里,可得檢測總次數(shù),再用基本不等式可得;

(2)設(shè)第一次每個組人,第二次每個組人,可得檢測總次數(shù),再用三元基本不等式,結(jié)合整數(shù)解可得;

(3)設(shè)第次分組中,每組人數(shù)為,則可得檢測總次數(shù),然后運用元基本不等式,結(jié)合,可得的最小值,進(jìn)而得到所求結(jié)果.

(1)200萬人平均分組,每組人,總共分組,每組檢測一次,共需檢測次,最壞的情況是1000名被感染者分布在其中1000組里,每組一人,然后在這1000組里逐個排查,每組需檢測次,共需檢測1000次,所以找到所有的被感染者共需檢測次,

由,

當(dāng)且僅當(dāng),所以 ,所以時等號成立.

由于為正整數(shù),

所以當(dāng)時,,

當(dāng)時,,

因為,

所以要使檢測總次數(shù)盡可能少,每個分組的最優(yōu)人數(shù)為45人.

(2)設(shè)第一次每個組人,分組;第二次每個組人,分組

第一次需檢測次,由(1)的思路知,第二次共需檢測次,

所以兩次檢測的總次數(shù)為,

因為

,

當(dāng)且僅當(dāng),

即, ,時等號成立,

因為,,且為正整數(shù),

且,,

所以,時兩次檢測的總次數(shù)盡可能少,

則第一次每個組159人,第二次每個組13人,可使檢測總次數(shù)盡可能少.

(3)假設(shè)進(jìn)行次這樣的分組檢測,可以達(dá)到檢測次數(shù)更少,

設(shè)第次分組中,每組人數(shù)為,

則總共檢測次數(shù)為,

因為

,

當(dāng)且僅當(dāng),時等號成立,

所以,

所以,

所以,

所以,

當(dāng)時,,

因為,且為正整數(shù),

所以可取,即這樣進(jìn)行了18次檢驗可得到總次數(shù)更小.