Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2．

(Ⅰ)求異面直線EF與BC所成角的大小；
(Ⅱ)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長．

Answer 1

（Ⅰ）30°；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）異面直線EF與BC所成角的大小，即AD與EF所成角的大小，則在面ADEF內求AD與EF所成角的大小即可；（Ⅱ）法一：根據條件，取AF的中點G，先證明DG垂直平面ABF，然后過G向交線BF作垂線，找出二面角的平面角，根據平面角的余弦值大小，列關系式求AB的長；法二：以F為原點，AF、FQ所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系，列出各點坐標，分別找出面ABF和面BDF的法向量，再根據向量的數量積公式以及平面角的余弦值求AB的長.
試題解析：(Ⅰ) 延長AD，FE交于Q．
因為ABCD是矩形，所以BC∥AD，
所以∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．
在梯形ADEF中，因為DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1
得AQF＝30°． 7分

(Ⅱ)方法一：
設AB＝x．取AF的中點G．由題意得DG⊥AF．
因為平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，
所以AB⊥DG．
所以DG⊥平面ABF．
過G作GH⊥BF，垂足為H，連結DH，則DH⊥BF，
所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．
在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．
在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，
所以GH＝．
在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．
因為cos∠DHG＝＝，得x＝，
所以AB＝． 15分
方法二：設AB＝x．
以F為原點，AF，FQ所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系Fxyz．則
F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，
所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因為EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．
設＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．
因為cos<，>＝＝，得x＝，
所以AB＝． 15分