Question

【題目】中國(guó)女排，曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為：扎扎實(shí)實(shí)，勤學(xué)苦練，無所畏懼，頑強(qiáng)拼搏，同甘共苦，團(tuán)結(jié)戰(zhàn)斗，刻苦鉆研，勇攀高峰.女排精神對(duì)各行各業(yè)的勞動(dòng)者起到了激勵(lì)、感召和促進(jìn)作用，給予全國(guó)人民巨大的鼓舞.

（1）看過中國(guó)女排的紀(jì)錄片后，某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動(dòng)，一段時(shí)間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，將該大學(xué)近5個(gè)月體重超重的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：

月份x	1	2	3	4	5
體重超重的人數(shù)y	640	540	420	300	200

若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x（月份變量x依次為1，2，3，4，5…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)預(yù)測(cè)從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下？

（2）在某次排球訓(xùn)練課上，球恰由A隊(duì)員控制，此后排球僅在A隊(duì)員、B隊(duì)員和C隊(duì)員三人中傳遞，已知每當(dāng)球由A隊(duì)員控制時(shí)，傳給B隊(duì)員的概率為，傳給C隊(duì)員的概率為；每當(dāng)球由B隊(duì)員控制時(shí)，傳給A隊(duì)員的概率為，傳給C隊(duì)員的概率為；每當(dāng)球由C隊(duì)員控制時(shí)，傳給A隊(duì)員的概率為，傳給B隊(duì)員的概率為.記，，為經(jīng)過n次傳球后球分別恰由A隊(duì)員、B隊(duì)員、C隊(duì)員控制的概率.

（i）若，B隊(duì)員控制球的次數(shù)為X，求；

（ii）若，，，，，證明：為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過200次傳球后A隊(duì)員控制球的概率與的大小.

附1：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：；.

附2：參考數(shù)據(jù)：，.

Answer 1

【答案】（1）可以預(yù)測(cè)從第7月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下；（2）（i）（ii）證明見解析；.

【解析】

（1）利用回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程，并由此進(jìn)行預(yù)測(cè).

（i）利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，進(jìn)而計(jì)算出.

（ii）證明部分：法一：通過證明證得為等比數(shù)列；法二：通過證明證得為等比數(shù)列.

求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此判斷出.

（1）由已知可得：，

，

又因?yàn)?/span>，，

所以，

所以，

所以，

當(dāng)時(shí)，，

所以，可以預(yù)測(cè)從第7月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下.

（2）（i）由題知X的可能取值為：0，1，2；

；

；

；

的分布列為：

所以.

（ii）（法一）由，，

兩式相加得：.

因?yàn)?/span>，

所以，，

代入等式得，即

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

所以，

即，

因此經(jīng)過200次傳球后A隊(duì)員控制球的概率

.

（法二）由題知：，所以，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

所以，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

所以，即，

因此經(jīng)過200次傳球后A隊(duì)員控制球的概率.