Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點，連結ED，EC，EB和DB．
（1）求證：平面EDB⊥平面EBC；
（2）（理）求二面角E-DB-C的正切值．
（文）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用數量積為0與向量垂直的關系及線面垂直的判定定理即可得出；
（2）（理）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的平面角的余弦值，再利用三角函數的基本關系式即可得出．
（文）由V_C-BDE=V_E-BDC，利用等積法能求出三棱錐C-BDE的體積．

解答： （1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標系．D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，0），C（0，2，0）．
∴

DE

=（0，1，1），

BE

=（-1，-1，1），

EC

=（0，1，-1）．

DE

•

BE

=0-1+1=0，

DE

•

EC

=0+1-1=0，
∴DE⊥BE，DE⊥EC，而BE∩EC=E．
∴DE⊥平面EBC．
∵DE?平面EDB，∴平面EDB⊥平面EBC．
（2）（理）解：設平面BDE的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • DE =y+z=0 n • BE =-x-y+z=0

，令y=-1，則z=1，x=2．
∴

n

=（2，-1，1）．
取平面BCD的法向量

m

=（0，0，1）．
則cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

．
從圖形上看，二面角E-DB-C的平面角為銳角，∴sin＜

n

，

m

＞=

30

6

．
∴tan＜

n

，

m

＞=

5

．
即二面角E-DB-C的正切值為

5

．
（文）解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點，
∴E到平面BDC的距離為h=BB₁=1，
S_△BDC=

1

2

DC•BC=

1

2

×2×1=1，
∴V_C-BDE=V_E-BDC=

1

3

×S△BDC×h=

1

3

×1×1=

1

3

．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用數量積為0與向量垂直的關系及線面垂直的判定定理證明線面垂直、利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的平面角的余弦值、三角函數的基本關系式基礎知識與基本技能方法，屬于難題．