Question

(本小題滿分16分)
已知數(shù)列和，對一切正整數(shù)n都有：
成立．
（Ⅰ）如果數(shù)列為常數(shù)列，，求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）如果數(shù)列的通項公式為，求證數(shù)列是等比數(shù)列．
（Ⅲ）如果數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，求出這個數(shù)列的通項公式；如果不是，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）數(shù)列是4為首項，公比為3的等比數(shù)列． 
（Ⅲ）  …
若時，，數(shù)列為等差數(shù)列．
若時，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,
∴，不是等差數(shù)列．
故時，數(shù)列為等差數(shù)列；時數(shù)列不為等差數(shù)列……16分

（本小題滿分16分）
（Ⅰ），由已知得：，
將用迭代得：．（）
兩式相減得：，當時，適合
∴數(shù)列的通項公式為．      ………………4分
（Ⅱ），由已知得：，
將用迭代得：．（n≥2）
兩式相減得：，  ………………………7分     
將用迭代得：．
兩式相減得：，經(jīng)檢驗也適合．
所以數(shù)列的通項公式為．
故數(shù)列是4為首項，公比為3的等比數(shù)列．   ………………10分
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的首項為，公比為，由已知得：

即：
即：
所以：    ………………………13分
若時，，數(shù)列為等差數(shù)列．
若時，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,
∴，不是等差數(shù)列．
故時，數(shù)列為等差數(shù)列；時數(shù)列不為等差數(shù)列……16分