Question

【題目】心理學家分析發現視覺和空間能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如表：（單位：人）

	幾何題	代數題	總計
男同學	22	8	30
女同學	8	12	20
總計	30	20	50

（1）能否據此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關？
（2）經過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5﹣7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6﹣8分鐘，現甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（3）現從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數為X，求X的分布列及數學期望E（X）．
附表及公式：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由表中數據得K2的觀測值K2= = ＞5.024．

所以根據統計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關．

（2）解：設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x，y分鐘，

則基本事件滿足的區域為 （如圖所示）．

設事件A為“乙比甲先做完此道題”

則滿足的區域為x＞y．

∴P（A）= =

即乙比甲先解答完的概率為 ．

（3）解：在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有 =28 種，

其中甲、乙兩人都不被被抽到有 =15種；恰有一人被抽到有 =12種；兩人都被抽到有 =1種．

X可能取值為0，1，2，

P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ．

X的分布列為：

X	0	1	2
P

∴E（X）=0× +1× +2× =

【解析】（1）計算K2 ， 對照附表做結論；（2）作出甲，乙兩人解答時間的平面區域，找出乙比甲早做完對于的區域，則區域面積的比值即為所求概率；（3）使用組合數公式和古典概型的概率計算公式分別計算X取不同值時的概率，得到X的分布列，求出數學期望．