Question

證明下列三角恒等式：
（1）

1-cos2θ

1+cos2θ

=tan2θ；

（2）

1-2sinθcosθ

cos2θ-sin2θ

=

1-tanθ

1+tanθ

．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡等式的左邊

1-cos2θ

1+cos2θ

=

1-(1-2sin2θ)

1+(2cos2θ-1)

，再利用同角三角函數的基本關系證得它等于
等式的右邊．
（2）把等式的左邊變形

1-2sinθcosθ

cos2θ-sin2θ

=

(cosθ-sinθ)2

(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)

，約分后分子分母同時除以cosθ，
即得等式的右邊．

解答：證明：（1）等式的左邊=

1-cos2θ

1+cos2θ

=

1-(1-2sin2θ)

1+(2cos2θ-1)

=

2sin2θ

2cos2θ

=tan²θ=右邊，故等式成立．
（2）等式的左邊=

1-2sinθcosθ

cos2θ-sin2θ

=

(cosθ-sinθ)2

(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)

=

cosθ-sinθ

cosθ+sinθ

=

1-tanθ

1+tanθ

=右邊，故等式成立．

點評：本題考查二倍角公式、同角三角函數的基本關系，正確選擇公式是解題的關鍵和難點．