Question

某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū)．已知AB⊥BC，DA∥BC且AB=BC=2AD=4km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼担�求曲線段的方程；
（2）如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在DC上，問如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1km²）．

Answer 1

分析：（1）以O為原點，OA所在直線為y軸建立直角坐標系，設出曲線所在拋物線的方程，代入C點的坐標后可求拋物線方程；
（2）設出P點坐標，在矩形PQBN中，把兩邊|PQ|，|PN|的長用P點坐標表示，由面積公式得到面積關于P點縱坐標的函數(shù)，然后利用導數(shù)求最值．

解答：解 （1）以O為原點，OA所在直線為y軸建立直角坐標系如圖，
依題意可設拋物線方程為y²=2px（p＞0），且C（4，2）．
∵2²=2p•4，∴p=

1

2

．
故曲線段DC的方程為y²=x（0≤x≤4，y≥0）．

（2）設P（y²，y）（0≤y＜2）是曲線段OC上的任意一點，
則在矩形PQBN中，|PQ|=2+y，|PN|=4-y²．
∴工業(yè)區(qū)面積S=|PQ|•PN|=（2+y）（4-y²）=-y³-2y²+4y+8．
又S'=-3y²-4y+4，令S′=0，得y1=

2

3

，y1=-2．∵0＜y＜2，∴y=

2

3

．
當y∈(0，

2

3

)時，S'＞0，S是y的增函數(shù)；當y∈(

2

3

，2)時，Sn＜0，S是y的減函數(shù)．
∴y=

2

3

時，S取到極大值，此時|PQ|=2+y=

8

3

|PN|=4-y2=

32

9

，
故S=

8

3

×

32

9

=

256

27

≈9.5．∵y=0時S=8，∴Smax=9.5(km2)．
答：當矩形的長為

32

9

km，寬為

8

3

km時，園區(qū)面積最大，約為9.5km²．

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了導數(shù)在最大值和最小值中的應用，設出動點P的坐標，能把矩形面積用動點坐標表示是解答該題的關鍵所在，此題是有一定難度題目．