Question

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個(gè)高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線(xiàn)段EQ和RP為兩個(gè)底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A為頂點(diǎn)、AD為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)段．試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．

Answer 1

分析：先以A為原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系得到A、F、E、C的坐標(biāo)．設(shè)出拋物線(xiàn)的解析式把F坐標(biāo)代入可求出，根據(jù)坐標(biāo)EC所在直線(xiàn)的方程，設(shè)出P的坐標(biāo)表示出PQ、QE、PR，利用梯形的面積公式表示出S，求出S′=0時(shí)的值來(lái)討論S的增減性得到S的最大值即可．

解答：解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖，
則A（0，0），F(xiàn)（2，4），
由題意可設(shè)拋物線(xiàn)段所在拋物線(xiàn)的方程為y=ax²（a＞0），
由4=a×2²得，a=1，
∴AF所在拋物線(xiàn)的方程為y=x²，
又E（0，4），C（2，6），
∴EC所在直線(xiàn)的方程為y=x+4，
設(shè)P（x，x²）（0＜x＜2），
則PQ=x，QE=4-x²，PR=4+x-x²，
∴工業(yè)園區(qū)的面積S=

1

2

(4-x2+4+x-x2)•x=-x3+

1

2

x2+4x（0＜x＜2），
∴S'=-3x²+x+4，令S'=0得x=

4

3

或x=-1（舍去負(fù)值），
當(dāng)x變化時(shí)，S'和S的變化情況如下表：

由表格可知，當(dāng)x=

4

3

時(shí)，S取得最大值

104

27

．
答：該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積

104

27

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，以及會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．