Question

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率為2.

（1）求，的值；

（2）證明：；

（3）若在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）由，知，由過，且在點(diǎn)處的切線斜率為2，知，由此能求出，．

（2）的定義域?yàn)?/span>，由（1）知，設(shè)，則，由此能證明．

（3）依題意可得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最小值，從而得到參數(shù)的取值范圍；

解：（1），

，

過，且在點(diǎn)處的切線斜率為2，

，

解得，．

（2）的定義域?yàn)?/span>，

由（1）知，

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

．

，

．

（3）依題意，在定義域內(nèi)恒成立，即恒成立，

令，定義域?yàn)?/span>，

所以

則當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，

則時(shí)取得極小值即最小值，

所以