Question

（2013•菏澤二模）下列命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜log_a2＜log_b2，則a＞b＞1；
③已知a，b∈R^*，2a+b=1，則

2

a

+

1

b

有最小值8；
④已知向量a=（1，2），b=（2，0），若向量λa+b與向量c=（1，-2）共線，則實數λ等于-1．
其中，正確命題的序號為

①②④

．

Answer 1

分析：①全稱命題的否定是特稱命題；
②底數大于0的對數函數，底數越大越靠近X軸；
③所求式子乘以1，而1用2a+b代換；
④向量λa+b的坐標表示可得，又由共線的充要條件x₁y₂-x₂y₁=0，得到關于實數λ的方程，解出即可．

解答：解：①命題“?x∈R，cosx＞0”是全稱命題，由于全稱命題的否定是特稱命題，故其否定是“?x∈R，cosx≤0”，則命題①正確；
②由于log_a2＞0，log_b2＞0，則a＞1，b＞1，又由log_a2＜log_b2，則a＞b＞1，故命題②正確；
③由于a，b∈R^*，2a+b=1，則

2

a

+

1

b

=(

2

a

+

1

b

)(2a+b)=5+

2b

a

+

2a

b

≥5+2

2b a × 2a b

=9，當且僅當

b

a

=

a

b

時，取等號
又由2a+b=1，則a=b=

1

3

時，取等號，故③錯誤；
④由于向量

a

=（1，2），

b

=（2，0），則向量λ

a

+

b

=(λ+2，2λ)，
又由向量λ

a

+

b

與向量

c

=（1，-2）共線，則-2（λ+2）-2λ=0，解得λ=-1，故④正確．
故答案為①②④．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，我們需對四個結論逐一進行判斷，方可得到正確的結論．