Question

【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的直角坐標方程并指出其形狀；

（2）設是曲線上的動點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）直接根據極坐標和直角坐標方程互化公式求解得到其直角坐標方程,然后,再將其化為標準方程即可判斷其形狀；（2）依據曲線的參數方程,可以設該點的三角形式 ,然后 ,借助于三角函數的有界性求最值.

試題解析：（1）由ρ2－4ρcos＋7＝0可得ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，化為直角坐標方程得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即（x－2）2＋（y－2）2＝1，它表示以（2,2）為圓心，以1為半徑的圓．

（2）由題意可設x＝2＋cosθ，y＝2＋sinθ，則t＝（x＋1）（y＋1）＝（3＋cosθ）（3＋sinθ）＝9＋3（sinθ＋cosθ）＋sinθcosθ.

令sinθ＋cosθ＝m，平方可得1＋2sinθcosθ＝m2，

所以sinθcosθ＝，t＝9＋3m＋＝m2＋3m＋（－≤m≤）．由二次函數的圖象可知t的取值范圍為.