Question

（提示：1、12、13、14班同學請完成試題（B），其他班級同學任選試題（A）或（B）作答）
（A） 已知點A（2，3），B（5，4），C（7，10）及

AP

=

AB

+t

AC

，試問：
（1）t為何值時，P在第三象限？
（2）是否存在D點使得四邊形ABCD為平行四邊形，若存在，求出D點坐標．
（B） 已知平行四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點E，

AN

=

1

2

ND

，連接BN交AC于M，
（1）若

AM

=λ

AE

，求實數λ．
（2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐標．

Answer 1

分析：（A）（1）解出P的坐標，令其橫縱坐標小于0，即可解出參數t的取值范圍．
（2）設出D的坐標，利用向量的相等建立方程求出其坐標，若能求出，則說明存在，否則說明不存在．
（B）（1）選定基向量，利用三角形法則將兩個向量用基向量表示出來即可得出參數的值；
（2）由向量的坐標運算規則直接求出M的坐標．

解答：解：（A）（1）∵A（2，3），B（5，4），C（7，10）及

AP

=

AB

+t

AC

，
∴

AP

=

AB

+t

AC

=（3，1）+t（5，7）=（3+5t，1+7t）
∴P（5+5t，4+7t）
又P在第三象限，故有

5+5t＜0 4+7t＜0

解得t＜-1
（2）存在D（x，y）使得四邊形ABCD為平行四邊形，因為
∵四邊形ABCD為平行四邊形，令AC，與BD的交點為E，則E是對角線的中點，可求得E（

9

2

，

13

2

），
∴

x=9-5=4 y=13-4=9

故D（4，9）
（B）（1）如圖，以

AB

，

AD

為基向量，則

AE

=

1

2

（

AB

+

AD

）   ①

AM

=

AN

+

NM

=

1

3

AD

+α

NB

=

1

3

AD

+α（

AB

-

AN

）=

1

3

AD

+α（

AB

-

1

3

AD

）=α

AB

+

1

3

（1-α）

AD

又

AM

=β

AC

=β（

AB

+

AD

）
故有

α=β 3β=1-α

解得α=β=

1

4

，即

AM

=

1

4

AC

=

1

4

（

AB

+

AD

）    ②
由①②知，M是A，E的中點故λ=

1

2

，
（2）∵B（0，0），C（1，0），D（2，1），
∴

CB

=（-1，0），

CD

=（1，1）
∴

CA

=（0，1），
由上，

AM

=

1

4

AC

，即，

AM

=-

3

4

CA

=（0，-

3

4

）

點評：本題考查向量的坐標運算，求解本題的關鍵是掌握住向量的加減法則，本題是一個向量綜合題，綜合考查了向量的三角形法則，向量的坐標運算，運算量較大，易因馬虎導致出錯，做題時要嚴謹．