Question

(本小題滿分14分）
已知函數為常數)是實數集上的奇函數，函數
在區間上是減函數．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求實數的最大值；
（Ⅲ）若關于的方程有且只有一個實數根，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）是實數集上奇函數，
，即   ……2分．
將帶入，顯然為奇函數．         ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
要使是區間上的減函數，則有在恒成立，，所以．           ……5分
要使在上恒成立，
只需在時恒成立即可．
(其中)恒成立即可． ………7分
令，則即
，所以實數的最大值為              ………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程，即，
令

當時，在上為增函數；
當時，在上為減函數；
當時，．     ………………11分
而
當時是減函數，當時，是增函數，
當時，． ………………12分
只有當，即時，方程有且只有一個實數根． …………14分
點評：近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合