Question

如圖一塊長方形區域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在邊AD的中點O處，有一個可轉動的探照燈，其照射角∠EOF始終為

π

4

，設∠AOE=α，探照燈O照射在長方形ABCD內部區域的面積為S．
（1）當0≤α＜

π

2

時，寫出S關于α的函數表達式；
（2）若探照燈每9分鐘旋轉“一個來回”（OE自OA轉到OC，再回到OA，稱“一個來回”，忽略OE在OA及OC反向旋轉時所用時間），且轉動的角速度大小一定，設AB邊上有一點G，且∠AOG=

π

6

，求點G在“一個來回”中，被照到的時間．

Answer 1

分析：（1）根據題意過點O作OH⊥BC于H．再討論α的范圍，可得當0≤α≤

π

4

時，E在邊AB上，F在線段BH上，因此S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF；當

π

4

＜α＜

π

2

時，E在線段BH上，F在線段CH上，因此S=S_△OEF．由此即可得到當0≤α＜

π

2

時S關于α的函數表達式；
（2）求出在“一個來回”中OE共轉動的角度，并求出其中點G被照到時共轉的角度，結合題意列式即可求出“一個來回”中點G被照到的時間．

解答：解：（1）過O作OH⊥BC，H為垂足．
①當0≤α≤

π

4

時，E在邊AB上，F在線段BH上（如圖①），
此時，AE=tanα，FH=tan（

π

4

-α），
∴S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF=1-

1

2

tanα-

1

2

tan（

π

4

-α）．   
②當

π

4

＜α＜

π

2

時，
E在線段BH上，F在線段CH上（如圖②），
此時，EH=

1

tanα

，FH=

1

tan( 3π 4 -α)

，可得EF=

1

tanα

+

1

tan( 3π 4 -α)

．
∴S=S_△OEF=

1

2

（

1

tanα

+

1

tan( 3π 4 -α)

）．
綜上所述，S=

1- 1 2 tanα- 1 2 tan( π 4 -α)   (0≤α≤ π 4 ) 1 2 ( 1 tanα + 1 tan( 3π 4 -α) )      ( π 4 ＜α＜ π 2 )

（2）在“一個來回”中，OE共轉了2×

3π

4

=

3π

2

，
其中點G被照到時，共轉了2×

π

6

=

π

3

 
∴在“一個來回”中，點G被照到的時間為9×

π 3

3π 2

=2（分鐘）．

點評：本題以探照燈在矩形區域內照射為例，求陰影部分面積關于角α的函數關系式，并求點G在“一個來回”中，被照到的時間，著重考查了三角函數的定義、解三角形在實際問題中和函數關系式的建立等知識，屬于中檔題．