Question

（2010•江蘇二模）如圖是一塊長方形區域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在邊AD的中點O處，有一個可轉動的探照燈，其照射角∠EOF始終為

π

4

，設∠AOE=α（0≤α≤

3π

4

），探照燈O照射在長方形ABCD內部區域的面積為S．
（1）當0≤α＜

π

2

時，寫出S關于α的函數表達式；
（2）當0≤α≤

π

4

時，求S的最大值．
（3）若探照燈每9分鐘旋轉“一個來回”（OE自OA轉到OC，再回到OA，稱“一個來回”，忽略OE在OA及OC反向旋轉時所用時間），且轉動的角速度大小一定，設AB邊上有一點G，且∠AOG=

π

6

，求點G在“一個來回”中，被照到的時間．

Answer 1

分析：（1）過O作OH⊥BC，H為垂足，討論α的范圍，當0≤α≤

π

4

時，E在邊AB上，F在線段BH上，根據S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF，當

π

4

＜α＜

π

2

時，E在線段BH上，F在線段CH上，S=S_△OEF．
（2）當0≤α≤

π

4

時，利用基本不等式求出S的最大值，注意等號成立的條件；
（3）在“一個來回”中，求出OE共轉動的角度，其中點G被照到時，共轉的角度，從而可求出“一個來回”中，點G被照到的時間．

解答：解：（1）過O作OH⊥BC，H為垂足．
①當0≤α≤

π

4

時，
E在邊AB上，F在線段BH上（如圖①），
此時，AE=tanα，FH=tan(

π

4

-α)，…（2分）
∴S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF
=1-

1

2

tanα-

1

2

tan(

π

4

-α)．   …（4分）
②當

π

4

＜α＜

π

2

時，
E在線段BH上，F在線段CH上（如圖②），
此時，EH=

1

tanα

，FH=

1

tan( 3π 4 -α)

，…（6分）
∴EF=

1

tanα

+

1

tan( 3π 4 -α)

．
∴S=S_△OEF=

1

2

(

1

tanα

+

1

tan( 3π 4 -α)

)．
綜上所述，S=

1- 1 2 tanα- 1 2 tan( π 4 -α) (0 ≤ α ≤  π 4 ) 1 2 ( 1 tanα + 1 tan( 3π 4 -α) ) ( π 4 ＜α＜ π 2 ).

…（8分）
（2）當0≤α≤

π

4

時，S=1-

1

2

tanα-

1

2

tan(

π

4

-α)，
即S=2-

1

2

(1+tanα+

2

1+tanα

)．             …（10分）
∵0≤α≤

π

4

，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．
∴1+tanα+

2

1+tanα

≥2

2

．
∴S≤2-

2

．
當tanα=

2

-1時，S取得最大值為2-

2

．    …（12分）
（3）在“一個來回”中，OE共轉了2×

3π

4

=

3π

2

．
其中點G被照到時，共轉了2×

π

6

=

π

3

．  …（14分）
則“一個來回”中，點G被照到的時間為9×

π 3

3π 2

=2（分鐘）．…（16分）

點評：本題主要考查了解三角形在實際問題中的應用，同時考查了利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題．