Question

14、如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，點E是PD的中點．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求證PB∥平面AEC．

Answer 1

分析：（1）欲證AC⊥PB，可先證AC⊥面PAB，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與面PAB內兩相交直線垂直，根據PA⊥面ABCD，AC?面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB⊥AC，PA∩AC=A，PA?面PAB，AB?面PAB，滿足定理所需條件；
（2）欲證PB∥面AEC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PB與面AEC內一直線平行即可，連接BD交AC于點O，并連接EO，根據中位線可知EO∥PB，PB?面AEC，EO?面AEC滿足定理所需條件．

解答：證明：（1）∵PA⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴PA⊥AC（2分）
又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA?面PAB，AB?面PAB
∴AC⊥面PAB∴AC⊥PB（7分）
（2）連接BD交AC于點O，并連接EO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴O為BD的中點又∵E為PD的中點
∴在△PDB中EO為中位線，EO∥PB
∵PB?面AEC，EO?面AEC∴PB∥面AEC．（14分）

點評：本題考查了空間兩直線的位置關系，以及直線與平面平行的判定等有關知識，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．