Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且 PA=AB=AC=2，點E是PD的中點．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求證：PB∥平面AEC；
（3）求三棱錐P-AEC的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證AC⊥PB，只需證明AC⊥平面PAB，而AB⊥AC，易證PA⊥AC，問題即可解決；      
（2）連接BD交AC于O，連接EO，證明EO∥PB，利用線面平行的判定定理即可得結(jié)論；
（3）通過體積輪換頂點公式即可求得三棱錐P-AEC的體積．

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC   …（2分）
又∵AB⊥AC，PA∩AB=A            …（4分）
∴AC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AC⊥PB   …（6分）
（2）證明：連接BD交AC于O，連接EO．在△DPB中，E是PD的中點，
又O是BD的中點，∴EO∥PB．…（8分）
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．…（10分）
（3）∵V_P-AEC=V_C-PAE=V_C-ADE=V_E-ADC=

1

2

V_P-ADC
∵V_P-ADC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

∴

1

2

V_P-ADC=

2

3

…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)與直線與平面平行的判定，關(guān)鍵在于熟練掌握平面垂直的性質(zhì)與直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用，屬于中檔題．