Question

（12分） 已知四棱錐的三視圖如下圖所示，是側棱上的動點．

    （1） 求四棱錐的體積；

    （2） 是否不論點在何位置，都有？證明你的結論；

（3） 若點為的中點，求二面角的大小．

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

（2）不論點在何位置，都有

（3）

【解析】解：（1） 由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，側棱底面，且，

    ∴，

即四棱錐的體積為；

（2） 不論點在何位置，都有．

證明如下：連結，

∵是正方形，[來源:Z§xx§k.Com]

∴．

∵底面，且平面，

∴．

又∵，

∴平面．

∵不論點在何位置，

都有平面．

∴不論點在何位置，

都有；

（3） 解法1：在平面內過點作于，連結．

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

從而△≌△，∴．∴為二面角的平面角．

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

    ，

    ∴，即二面角的大小為．

解法2：如圖，以點為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系．則，從而，，，．

    設平面和平面的法向量分別為，，

    由，

    取．由，

    取．設二面角的平面角為，則

    ，

    ∴，即二面角的大小為．