Question

在平面直角坐標系中，動點P的坐標（x，y）滿足方程組：

x=(2k+2-k)cosθ y=(2k-2-k)sinθ

（1）若k為參數，θ（2）為常數（θ≠

kπ

2

，k∈Z（3）），求P點軌跡的焦點坐標．
（4）若θ（5）為參數，k為非零常數，則P點軌跡上任意兩點間的距離是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把

x cosθ = (2k+2-k) y sinθ = (2k-2-k)

  這兩個式子平方相減可消去參數k，化為  

x2

cosθ

-

y2

sinθ

= 4，方程表示
焦點在x軸上的雙曲線，求出焦點．
 （2）把這兩個式子

cosθ  = x 2k+2-k sinθ =  y 2k+2-k

  平方相加即可消去參數θ，化為

x2

2k+2-k

-

y2

2k-2-k

=  1，
 方程表示焦點在x軸上的橢圓，任意兩點間的距離存在最大值為橢圓的長軸的長2a．

解答：解：（1）由

x=(2k+2-k)cosθ y=(2k-2-k)sinθ

得：

x cosθ = (2k+2-k) y sinθ = (2k-2-k)

，把這兩個式子平方相減可得

x2

cosθ

- 

y2

sinθ

= 4．∵θ≠

kπ

2

，k∈z，故方程表示焦點在x軸上的雙曲線，焦點為（-2，0），（2，0）．

（2）由

x=(2k+2-k)cosθ y=(2k-2-k)sinθ

 可得

cosθ  = x 2k+2-k sinθ =  y 2k+2-k

，消去參數θ 可得

x2

2k+2-k

-

y2

2k-2-k

=  1，故方程表示焦點在x軸上的橢圓，
任意兩點間的距離存在最大值為橢圓的長軸的長2a=2（2^k+2^-k  ）．

點評：本題考查把參數方程化為普通方程的方法，橢圓與雙曲線的方程的特點，消去參數是解題的關鍵．