Question

關于下列命題：
①若一組數據中的每一個數據都加上同一個數后，方差恒不變；
②滿足方程f'（x）=0的x值為函數f（x）的極值點；
③命題“p且q為真”是命題“p或q為真”的必要不充分條件；
④若函數f（x）=log_ax的反函數的圖象過點（-1，b），則a+2b的最小值為2

2

；
⑤點P（x，y）是曲線y²=4x上一動點，則|x+1|+

x2+(y-1)2

的最小值是

2

．
其中正確的命題的序號是

①④⑤

（注：把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①利用方差的定義和公式進判斷．②利用導數和極值之間的關系進行判斷．③利用復合命題的真假關系和充分條件，必要條件的關系進行判斷．
④利用反函數的性質和基本不等式進行判斷．⑤利用拋物線的定義判斷．

解答：解：①若兩個x，y變量滿足y=x+b，則根據方差公式有Dy=Dx，所以①正確．
②根據函數極值的定義可知，若函數取得極值，則一定有f'（x）=0，但反之未必成立，還要判斷，函數在x處的兩側單調性是否發生變化，所以②錯誤．
③若p且q為真，則p，q同時為真，若p或q為真，則p，q至少有一個為真，所以命題“p且q為真”是命題“p或q為真”的充分不必要條件，所以③錯誤．
④函數f（x）=log_ax的反函數的為y=a^x，因為圖象過點（-1，b），所以a^-1=b，即ab=1，由基本不等式得a+2b≥2

2ab

=2

2

，當且僅當a=2b時取等號，
 所以④正確．
⑤拋物線的焦點坐標為F（1，0），準線方程為x=-1，則|x+1|+

x2+(y-1)2

的幾何意義是點P到準線x=-1和到M（0，1）的距離之和，所以由拋物線的定義可知|PE|+|PM|=|PF|+|PM≥|MF|，即M，P，F三點共線時距離之和最小，此時|MF|=

2

．所以⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查了各種命題真假的判斷，要求熟練掌握相關的知識和性質．其中在⑤的判斷過程中要利用數學結合的數學思想，同時也要根據拋物線的定義進行轉化．