Question

（2012•自貢三模）對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f′（x）是y=f（x）的導函數y=f′（x）的導函數，若方程f′（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”，可以發現，任何三次函數都有“拐點”，任何三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，請你根據這一發現判斷下列命題：
①任意三次函數都關于點（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對稱：
②存在三次函數f′（x）=0有實數解x₀，點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的對稱中心；
③存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心；
④若函數g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，則，g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）=-105.5．
其中正確命題的序號為

①②④

（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①根據函數f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對稱中心；
②③利用三次函數對稱中心的定義和性質進行判斷；
④由g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

的對稱中心是（

1

2

，-

1

2

），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）．

解答：解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″(x)=6a×(-

b

3a

)+2b=0，
∴任意三次函數都關于點（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對稱，即①正確；
∵任何三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，
∴存在三次函數f′（x）=0有實數解x₀，點（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對稱中心，即②正確；
任何三次函數都有且只有一個對稱中心，故③不正確；
∵g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

，
∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=

1

2

，
∵g（

1

2

）=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2-

5

12

=-

1

2

，
∴函數g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

的對稱中心是（

1

2

，-

1

2

），
∴g（x）+（g（1-x）=-1，
∴g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）=-105.5，故④正確．
故答案為：①②④．

點評：本小題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查化簡計算能力，求函數的值以及函數的對稱性的應用，屬于難題．