Question

【題目】如圖，的棱長為1的正方體，任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，這樣得到的截面多邊形的面積為，周長為的范圍分別是_____________（用集合表示）

Answer 1

【答案】;

【解析】

由線面垂直的性質可知截面多邊形的邊與所在的正方形的對角線平行，利用相似比即可求得截面周長為定值.

連接，，，

，平面

，又

平面，

同理可證

則平面，

設平面與平面的交線為，

則，又，

，

同理可得平面與其他各面的交線都與此平面的對角線平行，

設，則，，

，

同理可得六邊形其他相鄰兩邊的和為,

六邊形的周長為定值.

因為截面與各面的交線與各面的對角線平行，所以不管六邊形如何變化，六邊形的每個內角都是，并且相鄰邊長的和為，通過構造邊長為的菱形，并且有一個角為，

六邊形的面積是如圖兩個等邊三角形的面積減上下兩個等邊三角形的面積，，，

，

，

所以截面多邊形面積的取值范圍是

故答案為：；