Question

已知雙曲線C₁的漸近線為y=±x且過點(,)，直線l的方程為x-y+3=0，以雙曲線C₁的焦點為焦點作橢圓C₂，C₂與l有公共點，問公共點在何處時，C₂的短軸長最短?并求出此時的橢圓方程.

Answer 1

解：設雙曲線C₁的方程為x²-=λ，將點(,)代入得λ=,

C₁:4x²-y²=1，其焦點坐標為(±1,0).

    設橢圓C₂的方程為+=1，其中b＞0，將l的方程代入并整理得(2b²+1)x²+6(b²+1)x+(9-b²)(b²+1)=0.

∵l與C₂有公共點，∴Δ≥0，解得b²≥4,b≥2,2b≥4，即短軸長最短為4.

    當b=2時，上述方程為9x²+30x+25=0,這時x=-,y=x+3=,

    即當l與C₂的公共點為(-,)時，C₂的短軸長最短為4，橢圓的方程+=1.