Question

已知雙曲線C₁的漸近線方程是y=±x，且它的一條準線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是．以C₁的兩個頂點為焦點，以C₁的焦點為頂點的橢圓記為C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率為的直線l經過定點P（m，0）（m＞0）并與橢圓C₂交于不同的兩點A、B，若對于橢圓C₂上任意一點M，都存在θ∈[0，2π]，使得成立．求實數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知雙曲線C₁的焦點在x軸上，先假設方程，結合漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是，則可求雙曲線的標準方程．
（2）聯立方程組，由于交于不同的兩點，所以△＞0．
由，可得代入橢圓方程，可求實數m的值．
解答：解：（1）由題意知雙曲線C₁的焦點在x軸上，設C₁的方程為：

解得之：，
∴雙曲線的半焦距c=2，橢圓C₂方程為：…（4分）
（2）設點M（x，y）及點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為：x-2y-m=0，
聯立方程組…（6分）
判斷式△=16m²-32（m²-4）=16（8-m²）＞0


=4y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²
=…（7分）
由，可得…（8分）
代入橢圓方程得4=x²+4y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+4（y₁cosθ+y₂sinθ）²
=（x₁²+4y₁²）cos²θ+（x₂²+4y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）
=4（cos²θ+sin²θ）+sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）
即得：sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）=0…（10分）
又∵θ∈[0，2π]的任意性，知：

∵
∴m=2，即滿足條件的實數m的值為2   …（12分）
點評：本題主要考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，注意設而不求思想的運用．