Question

（本題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱,,底面為直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O為AD中點(diǎn).

(1)求直線與平面所成角的余弦值;
(2)求點(diǎn)到平面的距離
(3)線段上是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1) ；（2）；（3）存在，且。

本試題主要是考查了立體幾何中線面角的求解，二面角的問題，以及點(diǎn)到面的距離。
（1）先確定出平面的垂線，然后利用已知的關(guān)系式來得到線面角的表示，進(jìn)而求解。
(2)利用等體積法得到點(diǎn)到面的距離。
(3)建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而表示平面的法向量，利用向量與向量的夾角，得到二面角的平面角。
解:(1) 在△PAD中PA=PD, O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD,
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形中,易得;所以以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為
軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則,,，;
,易證:,所以平面的法向量,

所以與平面所成角的余弦值為；        ……………………………….4分
（2），設(shè)平面PDC的法向量為，
則，取得
點(diǎn)到平面的距離……………….8分
（3）假設(shè)存在，則設(shè)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225120215688.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則
取，得
平面的有一個(gè)法向量為
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225120573560.png" style="vertical-align:middle;" />的余弦值為，所以
得到得或(舍)
所以存在，且                            ………………… 13分