Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率，左、右焦點分別為、，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）當直線與橢圓相切，交于點，，當時，求的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：1）利用橢圓離心率可知利用拋物線定義求出點的軌跡的方程；

（2）顯然當AB斜率不存在時，不符合條件．當AB斜率存在時，設AB：y=kx+m，聯立直線與橢圓方程，設A（x1，y1），B（x2，y2）通過韋達定理結合OA⊥OB，轉化求解即可．

詳解：（1）由，得，，故，，

依條件可知，

∴的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線，

∴的方程為．

（2）顯然當斜率不存在時，不符合條件．

當斜率存在時，設：，

由消得，

∵與相切，

∴，得，①

又由消得，

設，，則，，

且有得，，

∵，

∴ ，

得，

聯立①，得，故方程為．