Question

【題目】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖．

（1）求證：平面AB1D1∥平面C1BD；

（2）試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F，并證明：A1E＝EF＝FC.

Answer 1

【答案】略

【解析】證明：（1）因為在正方體ABCD－A1B1C1D1中，ADB1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D.又因為C1D平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因為AB1∩B1D1＝B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.

（2）如圖，設A1C1與B1D1交于點O1，連接AO1，與A1C交于點E.

因為AO1平面AB1D1，

所以點E也在平面AB1D1內，所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點．

連接AC交BD于O，連接C1O與A1C交于點F，則點F就是A1C與平面C1BD的交點．

下面證明A1E＝EF＝FC.

因為平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.

在△A1C1F中，O1是A1C1的中點，所以E是A1F的中點，

即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.