Question

設{a_n}是各項為正數的等差數列，a₁=a，其前n項和為S_n；{b_n}是各項均為正數的等比數列．
（1）若a₁=b₁=2，a₄-b₃=3，S₃+b₂=19．
（ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（ⅱ）記T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_nn∈N^*，當T_n＞10220-6n，求n的最小值．
（2）是否存在等差數列{a_n}，使

S2n

Sn

=k（n∈N^*，k是非零常數），若存在，求出其通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）（ⅰ）根據a₁=b₁=2，a₄-b₃=3，S₃+b₂=19，建立方程組，求出公差與公比，即可求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（ⅱ）利用錯位相減法求和，利用T_n＞10220-6n，即可求n的最小值．
（2）設出S_n，利用

S2n

Sn

=k（n∈N^*，k是非零常數），建立恒等式，即可求出其通項公式．

解答：解：（1）（ⅰ）因為a₁=b₁=2，a₄-b₃=3，S₃+b₂=19，
所以

2+3d-2q2=3 6+3d+2q=19

，解之得

d=3 q=2

或

d= 19 3 q=-3

因為{b_n}是各項均為正數，所以q＞0，故d=3，q=2．
所以a_n=2+3（n-1）=3n-1，bn=2•2n-1=2ⁿ． …（4分）
（ⅱ）T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n=（3n-1）×2+（3n-4）×2²+…+2×2ⁿ，
2T_n=（3n-1）×2²+（3n-4）×2³+…+2×2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-T_n=6n-2-3×（2²+2³+…+2ⁿ）-2×2ⁿ⁺¹=6n+10-10×2ⁿ，
∴T_n=10×2ⁿ-6n-10．…（8分）
由T_n＞10220-6n，得2ⁿ＞1023，∴n≥10．
符合條件的n的最小值為10．…（10分）
（2）設存在符合條件的數列{a_n}的公差為d，則Sn=na1+

n(n-1)

2

d．
∵

S2n

Sn

=k（k是非零常數），∴

4a+2(2n-1)d

2a+(n-1)d

=k，…（12分）
化簡得（4d-dk）n+4a-2d-2ak+dk=0對所有n∈N^*成立．
所以有

4d-dk=0 4a-2d-2ak+dk=0

…（14分）
當d=0時，k=2，數列{a_n}通項公式為a_n=a；
當d≠0時，k=4，d=2a，數列{a_n}通項公式為a_n=2an-a．…（16分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的通項公式，考查錯位相減法求數列的和，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．