Question

（2013•煙臺一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點A（2，0），離心率為

3

2

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知P（異于點A）為橢圓C上一個動點，過O作線段AP的垂線l交橢圓C于點E，D，求

|DE|

|AP|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據A（2，0）是橢圓C的右頂點，可得a=2，利用

c

a

=

3

2

，可得c=

3

，從而b²=a²-c²=4-3=1，故可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）當直線AP的斜率為0時，可得

|DE|

|AP|

=

1

2

；當直線AP的斜率不為0時，設出直線AP、DE的方程，分別與橢圓方程聯立，求出|AP|，|DE|，進而利用導數，即可確定

|DE|

|AP|

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為 A（2，0）是橢圓C的右頂點，所以a=2．
又

c

a

=

3

2

，所以 c=

3

．
所以 b²=a²-c²=4-3=1．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）當直線AP的斜率為0時，|AP|=4，DE為橢圓C的短軸，則|DE|=2，所以

|DE|

|AP|

=

1

2

．…（5分）
當直線AP的斜率不為0時，設直線AP的方程為y=k（x-2），P（x₀，y₀），
則直線DE的方程為y=-

1

k

x．…（6分）
由

y=k(x-2) x2 4 +y2=1

得x²+4[k（x-2）]²-4=0，即（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0．
所以2+x0=

16k2

4k2+1

，所以 x0=

8k2-2

4k2+1

．…（8分）
所以 |AP|=

(x 0-2)2+(y 0-0)2

=

(1+k2)(x 0-2)2

，即 |AP|=

4 1+k2

4k2+1

．
類似可求|DE|=4

1+k2 k2+4

．
所以

|DE|

|AP|

=

4 1+k2 k2+4

4 1+k2 4k2+1

=

4k2+1

k2+4

．…（11分）
設t=

k2+4

，則k²=t²-4，t＞2．
∴

|DE|

|AP|

=

4(t2-4)+1

t

=

4t2-15

t

(t＞2)．
令g(t)=

4t2-15

t

(t＞2)，則g′(t)=

4t2+15

t2

＞0．所以 g（t）是一個增函數．
所以 

|DE|

|AP|

=

4t2-15

t

＞

4×4-15

2

=

1

2

．
綜上，

|DE|

|AP|

的取值范圍是[

1

2

，+∞)．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查導數知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．