Question

已知無窮數列{an}的各項均為正整數，Sn為數列{an}的前n項和．

(1)若數列{an}是等差數列，且對任意正整數n都有Sn3＝(Sn)3成立，求數列{an}的通項公式；

(2)對任意正整數n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復地任取若干個數，這些數之間經過加減運算后所得數的絕對值為互不相同的正整數，且這些正整數與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數組成的集合．

(ⅰ)求a1，a2的值；

(ⅱ)求數列{an}的通項公式．

 

Answer 1

（1）an＝1或an＝2n－1（2）a1＝1，a2＝3，an＝3n－1

【解析】(1)設無窮等差數列{an}的公差為d，因為Sn3＝(Sn)3對任意正整數n都成立，所以分別取n＝1，n＝2時，則有：

因為數列{an}的各項均為正整數，所以d≥0.

可得a1＝1，d＝0或d＝2.(4分)

當a1＝1，d＝0時，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；

當a1＝1，d＝2時，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.

因此，共有2個無窮等差數列滿足條件，通項公式為an＝1或an＝2n－1.(6分)

(2)(ⅰ)記An＝{1,2，…，Sn}，顯然a1＝S1＝1.(7分)

對于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1,2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1,2,3,4}，

故1＋a2＝4，所以a2＝3.(9分)

(ⅱ)由題意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述規則，共產生Sn個正整數．(10分)

而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述規則產生的Sn＋1個正整數中，除1,2，…，Sn這Sn個正整數外，還有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1,2，…，Sn)，共2Sn＋1個數．

所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.(12分)

又Sn＋1＋＝3 ，所以Sn＝·3n－1－＝·3n－.(14分)

當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝·3n－－＝3n－1.(15分)

而a1＝1也滿足an＝3n－1.

所以，數列{an}的通項公式是an＝3n－1.(16分)