Question

已知數列{an}的前三項分別為a1＝5，a2＝6，a3＝8，且數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m)2，其中m，n為任意正整數．

(1)求數列{an}的通項公式及前n項和Sn；

(2)求滿足－an＋33＝k2的所有正整數k，n.

 

Answer 1

（1）Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*（2）n＝10，k＝131.

【解析】(1)在等式Sm＋n＝(S2n＋S2m)－(n－m)2中，分別令m＝1，m＝2，得

Sn＋1＝(S2n＋S2)－(n－1)2，①

Sn＋2＝ (S2n＋S4)－(n－2)2，②

②－①，得an＋2＝2n－3＋.(3分)

在等式Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m2)中，令n＝1，m＝2，得S3＝(S2＋S4)－1，由題設知，S2＝11，S3＝19，故S4＝29.

所以an＋2＝2n＋6(n∈N*)，即an＝2n＋2(n≥3，n∈N*)．

又a2＝6也適合上式，故an＝ (5分)

Sn＝即Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*.(6分)

(2)記－an＋33＝k2(*)．

n＝1時，無正整數k滿足等式(*)．

n≥2時，等式(*)即為(n2＋3n＋1)2－3(n－10)＝k2.(8分)

①當n＝10時，k＝131.(9分)

②當n＞10時，則k＜n2＋3n＋1，

又k2－(n2＋3n)2＝2n2＋3n＋31＞0，所以k＞n2＋3n.

從而n2＋3n＜k＜n2＋3n＋1.

又因為n，k∈N*，所以k不存在，從而無正整數k滿足等式(*)．(12分)

③當n＜10時，則k＞n2＋3n＋1，因為k∈N*，所以k≥n2＋3n＋2.

從而(n2＋3n＋1)2－3(n－10)≥(n2＋3n＋2)2.

即2n2＋9n－27≤0.因為n∈N*，所以n＝1或2.(14分)

n＝1時，k2＝52，無正整數解；

n＝2時，k2＝145，無正整數解．

綜上所述，滿足等式(*)的n，k分別為n＝10，k＝131.(16分)