Question

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．

(1)求證：B1E⊥AD1.

(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

(3)若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長．

 

Answer 1

（1）見解析（2）（3）2

【解析】(1)以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)．設AB＝a，則A(0，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，

E，B1(a,0,1)，

故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.

∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

∴B1E⊥AD1.

(2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)(0≤z0≤1)，

使得DP∥平面B1AE.此時＝(0，－1，z0)．

又設平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

由n⊥，n⊥，得.

取x＝1，得平面B1AE的一個法向量n＝

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，

解得z0＝.

又DP?平面B1AE，

∴存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝.

(3)連接A1D，B1C，由長方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.

∵B1C∥A1D，

∴AD1⊥B1C.

又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，

∴AD1⊥平面DCB1A1，

∴是平面A1B1E的一個法向量，此時＝(0,1,1)．

設與n所成的角為θ，則

cos θ＝＝.

∵二面角A－B1E－A1的大小為30°，

∴|cos θ|＝cos 30°，即＝，

解得a＝2，即AB的長為.2