Question

20、（1）一條長椅上有9個座位，3個人坐，若相鄰2人之間至少有2個空椅子，共有幾種不同的坐法？
（2）一條長椅上有7個座位，4個人坐，要求3個空位中，恰有2個空位相鄰，共有多少種不同的坐法？

Answer 1

分析：（1）根據題意，用插空法，先將3人與4張空椅子排好，再將剩余的兩把椅子插入，分“分別插入兩個空位”與“插入同一個空位”兩種情況分析，進而考慮3個人之間的排列，由A₃³種不同的坐法，有分步計數原理，可得答案，
（2）可先讓4人坐在4個位置上，有A₄⁴種排法，再把“兩個相鄰的空位”與“單獨的空位”視為兩個元素，插入4個人形成的5個“空當”之間，由排列公式，計算可得答案．

解答：解：（1）先將3人（用×表示）與4張空椅子（用□表示）
排列如圖（×□□×□□×），這時共占據了7張椅子，
還有2張空椅子，
第一種情況是分別插入兩個空位，
如圖中箭頭所示（↓×□↓□×□↓□×↓），
即從4個空當中選2個插入，有C₄²種插法；
二是2張插入同一個空位，有C₄¹種插法，
再考慮3人可交換有A₃³種方法，
所以，共有A₃³（C₄²+C₄¹）=60（種）．
（2）可先讓4人坐在4個位置上，有A₄⁴種排法，
再讓2個“元素”（一個是“兩個相鄰空位”，另一個“單獨的空位”）
插入4個人形成的5個“空當”之間，有A₅²種插法，所以所求的坐法數為A₄⁴•A₅²=480．

點評：本題考查排列、組合的綜合應用，注意這類題目的特殊方法，如插空法、捆綁法等．